GEOMETRÍAS NO EUCLIDIANAS | Lobachevski: el poder de una herejía

Este texto de Santiago Fernández apareció originalmente en el número 1 de la revista CIC Network (2007) y lo reproducimos en su integridad por su interés.

Lobachevski fue un célebre matemático ruso del siglo XIX, creador de una de las geometrías no-euclideanas, la geometría hiperbólica, honor que ha compartido con el húngaro J. Bolyai y el genio alemán F. Gauss. Desempeñó el cargo de rector de la Universidad de Kazán durante dos décadas, y fue un trabajador infatigable. En palabras de Clifford, Lobachevski era bastante más que un matemático, calificándole de “el Copérnico de la geometría”. Pero la geometría es sólo una parte más del amplio campo que renovó.

Su vida

Nicolai Ivanovich Lobachevski nació el 1 de diciembre de 1792 en una pequeña localidad rusa llamada Nizhny Novgorod, muy cerca de la populosa ciudad de Kazán. Cuando tenía siete años, murió su padre, y ese mismo año su madre trasladó su residencia a Kazán, en busca de mejores horizontes para sus tres hijos.

El 1802, comienza sus estudios primarios en el Gimnasium. La vida escolar allí era extremadamente severa. Sin embargo, en este ambiente hostil y lúgubre, Nicolai encontró un joven profesor de matemáticas muy motivador (G. I. Kartashevski), persona interesada por la ciencia en general y por las matemáticas en particular. Kartashevski dictaba sus cursos basándose en las grandes obras de la época, y especialmente utilizaba el libro Eléments de géométrie del ilustre matemático francés A. M. Legendre (1752-1833), publicado en el año 1794. En 1807 finalizó brillantemente sus estudios en el Gimnasium y se incorporó a la Universidad de Kazán. Con tan sólo quince años, ya era capaz de leer memorias científicas en varios idiomas: francés, alemán y latín.

En 1804 se fundó la Universidad de Kazán, que abrió sus puertas un año más tarde. Era, por tanto, una universidad joven cuando Lobachevski comenzó sus estudios. La necesidad de nuevos profesores llevó a los responsables de la universidad a contratar docentes de un cierto prestigio. En 1808 tomó posesión de la cátedra de matemáticas el profesor alemán M. F. Bartels (1769-1833), matemático de primer orden y excelente pedagogo (Bartels conocía personalmente al célebre F. Gauss, con el cual había coincidido en Brunswick). Como hábil profesor que era, Bartels pronto conectó con Lobachevski y le hizo interesarse por temas relacionados con la historia de las matemáticas. Es muy probable que el interés de Lobachevski por el problema de las Paralelas surgiera a raíz de los cursos impartidos por Bartels.

En 1811, Lobachevski recibió el título de licenciado en Física y Matemáticas, y dos años más tarde fue nombrado profesor adjunto. Ese mismo año, el profesor Bartels fue elegido decano de la facultad.

El nuevo cargo de Lobachevski conllevaba más responsabilidades y exigencias. Además, su nueva categoría profesional le obligaba a impartir una serie de cursos y conferencias sobre diversos temas: álgebra, aritmética, trigonometría, geometría… En todos los casos, Lobachevski se esmeró en preparar con sumo cuidado el contenido de los cursos para que sus alumnos comprendieran la materia. Su método de enseñanza fue motivo de agudas reflexiones durante muchos años. Posteriormente, dejaría plasmadas en un famoso artículo sus revolucionarias e innovadoras ideas al respecto. En julio de 1816, Lobachevski (sólo tenía 24 años) fue nombrado profesor extraordinario a petición del profesor y compañero Bartels.

Con la fundación de la Santa Alianza, la vida intelectual en el Imperio Ruso se volvió insoportable, por lo que el profesor Bartels aceptó trabajar en la Universidad de Dorpat, dejando vacante el puesto de decano. Para cubrir dicho cargo fue propuesto Lobachevski.

De repente, Lobachevski se convirtió en la piedra angular de su facultad. Su valía fue también reconocida en otros estamentos universitarios. Se le requirió para la mayoría de los proyectos docentes y administrativos, entre otros, el de clasificar la enorme biblioteca central de la Universidad, que en aquellos momentos ya contaba con varias decenas de miles de libros, manuscritos y códices –por cierto, completamente desordenados–; se le nombró miembro del comité de construcción de los edificios universitarios, labor que consistía en poner en marcha las diversas construcciones que se erigieran por esa época en la universidad. Además, organizó el laboratorio de física y la compra de nuevos materiales para el laboratorio, y participó en el proyecto de construcción de un observatorio astronómico, que posteriormente él mismo utilizaría. Fue nombrado redactor de una revista surgida en el seno de la Universidad y que posteriormente se denominó Memorias de la Universidad de Kazán. Formó parte del comité encargado de dirigir y controlar la actividad docente de todos los centros educativos del distrito de Kazán.

Cualquiera de dichas labores era por si sola suficiente para una persona normal; sin embargo, Lobachevski parecía multiplicarse. Sin duda, se convirtió en el personaje central de la universidad. Todo el mundo le estimaba y reconocía su valía. Pero lo más notable es que fuera capaz de no olvidar las matemáticas, de seguir estudiando, investigando, escribiendo, impartiendo clases.

En 1826, el zar Nicolás I se hizo con el poder e introdujo un régimen más tolerante. Para impulsar y renovar la vida universitaria, se convocaron elecciones a rector. Lobachevski presentó su candidatura, y fue elegido rector. Tenía sólo 33 años, y la tarea que se le avecinaba era compleja. El primer trabajo que afrontó Lobachevski en su cargo de rector fue rebajar la tensión que existía entre los profesores. Las reuniones del consejo, que antes eran ruidosas y poco planificadas, se desarrollaban ahora con total normalidad y dentro de un clima constructivo. También se preocupó por mejorar la vida universitaria de los estudiantes, quienes pudieron participar en los estamentos universitarios. Un año después de tomar posesión como rector, Lobachevski pronunció un discurso que causó una gran conmoción por su frescura de ideas, independencia y progresismo. Dicho discurso fue publicado en 1832 en el Noticiero de Kazán con el título: Sobre las materias de la educación social. Lobachevski ocupó durante 19 años el cargo de rector, de manera ininterrumpida.

A punto de cumplir los 40 años, en 1832, Lobachevski contrajo matrimonio con Varvara A. Moiséeva, con la que tuvo siete hijos. La dilatada vida universitaria de Lobachevski finalizó en 1846, tras 30 años de servicio como profesor. Tras jubilarse (sería más correcto decir que fue destituido de sus cargos), le fue ofrecido el puesto de ayudante del responsable educativo de la región de Kazán, cargo que desempeñó con decoro pero sin ninguna influencia en la vida docente.

Coincidiendo con su salida de la universidad, su mujer cayó gravemente enferma y, al poco tiempo, su hijo mayor murió de tuberculosis. Este cúmulo de desgracias, unido al hecho de que estaba quedándose ciego por una precoz esclerosis, hicieron que su salud se debilitara rápidamente. Sus últimos años, en los que se sentía abandonado y enfermo, debieron ser muy penosos. Lobachevski falleció en Kazán, el 2 de febrero de 1856.

Su obra

Parar entender sus aportaciones es necesario explicar, aunque sea brevemente, el más célebre de los postulados de la matemática. El quinto postulado es una de las piedras angulares sobre la que descansa la grandeza de los Elementos de Euclides, pero también ha sido la causa de los más duros ataques a su sistema geométrico. Los cuatro postulados que lo preceden son enunciados sencillos y cortos, mientras que el quinto es más enrevesado. Su lectura nos recuerda más a una proposición que a un postulado. Es muy posible que el mismo Euclides tuviera, inicialmente, esa misma sensación. De hecho, la ordenación de sus proposiciones, así como la demostración que hace del recíproco del quinto postulado, nos hace pensar en dicha posibilidad.

Las situaciones derivadas de intentar demostrar el quinto postulado en base a los otros cuatro dieron lugar a un gran enredo intelectual, conocido como el problema de las paralelas. Si bien los sucesivos fracasos de los intentos de demostración fueron agrandando más y más la figura de Euclides, también condujeron a la invención de nuevas geometrías. Para intentar solucionar el conflicto se hicieron dos tipos de intentos: el primero consistió en sustituir el quinto postulado por otro enunciado más evidente, mientras que el segundo se centró en deducirlo de los otros cuatro y de los teoremas o proposiciones que se iban construyendo.

La primera de las opciones ha dado lugar a postulados sustitutivos. Merece la pena recordar el enunciado por el matemático escocés J. Playfair (1748-1819): “Por un punto P, exterior a una recta l, se puede trazar una única recta que pasa por el punto P y que no corta a la recta l”.

Un nuevo rumbo geométrico

Lobachevski abrió una nueva vía: estudió las consecuencias que tenía para la geometría el hecho de que no se cumpliera necesariamente el quinto postulado. Una de sus principales obras, en la que se muestra este nuevo espíritu geométrico –Geometría (1823)–, fue severamente criticada por el académico ruso N. I. Fuss (1755-1826). Lo cierto es que su Geometría resultó muy atrevida para la época, y, posiblemente, el académico Fuss no comprendió el trasfondo de un planteamiento tan novedoso y rupturista. La disposición de los distintos capítulos llama poderosamente la atención. Los primeros cinco capítulos se redactan sin utilizar para nada el famoso quinto postulado. Desde el punto de vista histórico, este hecho es fundamental, ya que es la primera persona que trata de manera consciente la geometría absoluta (aquella que no depende del quinto postulado, sino únicamente de los cuatro primeros).

Posiblemente influido por la filosofía expresada por D’Alembert (1717-1783), se inclina por un “tratamiento métrico”. Lobachevski se da cuenta de que la medida de los ángulos y de los segmentos no depende del quinto postulado, mientras que la medida de las áreas tiene estrecha relación con el famoso quinto postulado, motivo por el que el cálculo de áreas de diversas figuras no es abordado hasta bien avanzado el libro. En el tratamiento que realiza de la teoría de las paralelas se vislumbran ya breves trazos de sus ulteriores trabajos. En el trabajo presentado, Lobachevski intenta demostrar el postulado de las paralelas a la inversa de la manera que fue enunciado por Playfair:

Lobachevski supuso que “por un punto P no situado en la recta l pasan, en el plano, más de una recta no secante con l”.

Lobachevski, a partir de una hipótesis tan absurda, comienza a deducir resultados, con la intención de encontrar alguna contradicción. Curiosamente construye un raro pero armonioso edificio geométrico que él llama geometría imaginaria y que actualmente llamamos geometría hiperbólica o de Lobachevski. Si bien el texto no llegó a publicarse hasta años más tarde, fue, sin duda, el germen de sus posteriores investigaciones geométricas.

A pesar de las severísimas críticas recibidas, siguió trabajando y profundizando en la teoría de las paralelas. Tres años más tarde, el 11 de febrero de 1826, en una reunión de la facultad físico-matemática, Lobachevski presentó un informe de cara a conocer la opinión de sus colegas respecto a sus investigaciones geométricas. Dicho informe llevaba como título “Expositiòn succinte des principies de la gèometrie avec une dèmonstration rigoureuse du thèoréme des parallèles” (1826) y en él se expresaban buena parte de sus revolucionarias ideas.

Para analizar el informe se reunieron en comisión tres profesores de la universidad, quienes adoptaron la decisión de valorar negativamente la publicación de su trabajo. Nuevamente, Lobachevski era vilipendiado. Si bien el trabajo no se editó, conocemos su contenido, ya que tres años más tarde el mismo Lobachevski publicó en la revista El mensajero de Kazán una memoria titulada “Acerca de los principios de geometría” (1829). Dicha memoria es compleja y difícil de leer, y cuenta con tres partes diferenciadas. La primera se centra en el estudio de la llamada geometría absoluta (en realidad, se trata de un resumen de su Geometría, presentada el año 1823 y que tan mal acogida tuvo); la segunda parte expone el contenido de su “Exposition succinte…”, y a lo largo de sus muchas páginas se dedica a estudiar y obtener el ángulo de paralelismo, que él llama π (a).

La última parte del libro está dedicada a la medida de longitudes, áreas y volúmenes. El estudio se hace mediante procesos de integración. Por otra parte, muchos de los cálculos los realiza por varios procedimientos, para verificar que las operaciones coinciden, lo que le reafirma en

su convicción de que la geometría que estaba edificando era correcta desde un punto de vista lógico. En 1832, siendo Lobachevski rector, el consejo de la Universidad de Kazán pidió a la Academia de Ciencias de San Petersburgo un informe “Acerca de los principios de geometría”. La Academia encargó el trabajo al académico M. V. Ostrogradski, que después de estudiarlo hizo la siguiente crítica verbal:

“…después de haber estudiado una obra del rector Lobachevski, tengo que observar que la obra está redactada con tan poco cuidado, que una gran parte es ininteligible. Por eso, estimo que dicha obra de Lobachevski no merece la menor atención de la Academia”.

A Lobachevski le debió molestar enormemente la crítica tan ofensiva del académico ruso, por lo que nuevamente hizo un gran esfuerzo por explicarse mejor. Así, publica una memoria titulada “Geometría imaginaria” (1835), continuando el año siguiente con “Aplicación de la geometría imaginaria a algunas integrales” (1836). En realidad, dichas memorias, publicadas en Memorias de la Universidad de Kazán, no aportaban nada nuevo a sus anteriores trabajos, pero, al disponer de más espacio, Lobachevski pudo explicar mejor los procesos y sus cálculos se convirtieron en más inteligibles. La obstinación de Lobachevski le llevó a redactar una y otra vez sus trabajos desde diferentes ópticas. Lobachevski era consciente de que sus escritos no eran sencillos de leer. Su concisión, la originalidad de sus planteamientos, las consecuencias derivadas de su teoría y el escribir en contra del pensamiento geométrico establecido (defendido por el filósofo alemán I. Kant) le llevó a redactar un tratado crucial: “Geometrishe Untersuchungen zur theorie der parallellinien” (1840). Por medio de este librito, escrito en alemán, la comunidad matemática toma contacto con las revolucionarias ideas geométricas de Lobachevski. Este escrito debió impresionar tanto a F. Gauss que, en noviembre de 1842, propuso la candidatura de Lobachevski para que fuera nombrado miembro de la Sociedad Científica de Göttingen, que ya entonces tenía el rango de Academia. Sin duda, este reconocimiento por parte del mejor matemático vivo fue la consagración de sus teorías geométricas.

El trabajo de Lobachevski en temas no relacionados directamente con la geometría es también muy sugerente. Su obra no geométrica más importante, tanto por su contenido como por su extensión, fue el tratado de “Álgebra” (1834), manual muy original. De hecho, Lobachevski fue reconocido en su época por el contenido de este libro más que por sus investigaciones geométricas. Con motivo del cincuentenario de la fundación de la Universidad de Kazán, Lobachevski fue invitado a escribir un artículo sobre sus investigaciones geométricas. A pesar de estar enfermo e impedido visualmente, aún tuvo ánimos para escribir su última obra, en ruso, titulada “Pangeometría” (1855).

Conclusiones y consecuencias

Por una parte, Lobachevski fue el primero que se percató de que el quinto postulado de Euclides no podía deducirse de las otras proposiciones fundamentales de la geometría y se atrevió a negar la “verdad evidente” de dicho postulado. Con su trabajo mostró no sólo que el quinto postulado es indemostrable, sino algo aún más importante: que desde un punto de vista estrictamente lógico, se pueden concebir varias geometrías, entre las que se encuentra la vieja geometría de Euclides. Sin embargo, las ideas de Lobachevski no fueron aceptadas de inmediato. Ideas tan radicales, que chocaban con los prejuicios de casi todos los científicos, no encajaron fácilmente como parte de la ciencia. Lobachevski defendió sus ideas convencido de que sus trabajos eran correctos y no vaciló en luchar contra la mentalidad dominante de la época, a la que consideraba caduca e incompatible con el progreso de la ciencia.

Con el nacimiento de las geometrías no-euclidianas se planteó la pregunta sobre cuál de las geometrías describe de la mejor manera posible el mundo físico, iniciándose uno de los períodos dorados en la interacción entre las matemáticas y la física. En el debate participaron las mejores mentes del siglo XIX: Riemann, Poincaré, Klein…, hasta el mismo Einstein. Señalemos, finalmente, que a mediados del siglo XIX apareció un nuevo principio general de qué es lo que se puede entender por geometría. Esta idea fue expuesta por Riemann en 1854, en una conferencia titulada “Sobre las hipótesis que yacen en los fundamentos de la Geometría”(1867). Riemann puede ser considerado el nuevo Euclides, ya que su contribución no se limita al campo de la geometría. Su estudio sobre la métrica de espacios curvos fue fundamental, ya que allanó el camino a la relatividad general.

Los 5 postulados de Euclides

I. Dados dos puntos se puede trazar una recta que los une.

II. Cualquier segmento puede ser prolongado de forma continua en una recta ilimitada en la misma dirección.

III. Se puede trazar una circunferencia de centro en cualquier punto y radio cualquiera.

IV. Todos los ángulos rectos son iguales.

V. Si una recta, al cortar a otras dos, forma los ángulos internos de un mismo lado menores que dos rectos, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el que están los ángulos menores que dos rectos.

Postulado de Playfair (sustitutivo del V)

V*. Por un punto P, exterior a una recta l, se puede trazar una única recta que pasa por el punto P y que no corta a la recta l.

Postulado de Lobachevski (negación del V)

V**. Por un punto P no situado en la recta l, pasan, en el plano, más de una recta que no corta a la recta l.

SANTIAGO FERNÁNDEZ FERNÁNDEZ (1954) es asesor de matemáticas de Berritzegune de Abando-Bilbao. Es autor de varios libros relacionados con la historia de las matemáticas. Pertenece la Comisión de Divulgación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME).

Edición realizada por César Tomé López a partir de materiales suministrados por CIC Network

Fuente: culturacientifica.com [España]